특수상대성이론 시간지연에 대해 생각해보자

특수상대성이론 교수하시려면 머리에 현기증 나시는 분들이 많으실 겁니다.

특히 교과서에 나오지 않는 경우에 질문받았을 경우 곤란을 겪는 경우가 많습니다.

특수상대성 이론 내용중에 시간팽창과 관련하여 교과서에 다음과 같이 기술되어 있습니다.

피타고라스정리를 이용하여 설명하는 것인데, 크게 문제될 것은 없습니다.
다만 이런 질문이 나오지 않길 바랄뿐이죠.

선생님, 왜 시간 측정하는 빛시계를 수직으로만 놔야 해요?

수평으로 놓고 하면 어떻게 되나요? 이때도 시간팽창이 생기나요?

제가 대학시절 상대성이론 배울 때 이런 경우 생각해보질 않았거든요.
이런 질문하는 학생은 존경해줘야 합니다.

다음과 같은 상황을 생각해봅시다.

빛시계 구조는 다음과 같습니다.

좌측의 광원에서 빛이 나와 우측의 거울에서 반사되어 광원까지 돌아오는 시간을 측정합니다.

우주선안의 관찰자 A가 측정한 우주선의 길이는 고유길이로 Lo이고, A가 측정하는 빛의 왕복시간은 다음과 같습니다.

정지한 관찰자 B가 측정한 우주선의 길이는 L로 Lo보다 작습니다. 식으로 표현하면

이 식에서 감마는 로런츠 인자이며 다음과 같이 정의됩니다.

 

정지해 있는 관찰자 B가 측정하는 빛의 왕복시간은 좀 복잡합니다.

우선 광원에서 거울까지 빛이 진행하는 것을 생각해봅시다.

 

Δt1동안 우주선이 이동한 거리 a=vΔt1, 빛이 이동한 거리 =L+a=cΔt1입니다.

이 식을 1)식에 대입하면

이번에는 거울에서 빛이 반사되어 광원으로 되돌아가는 것을 생각해봅시다.

이때 걸린 시간을 Δt2라 하면 우주선이 이동한 거리 b=vΔt2, 빛이 이동한 거리 =L-b=cΔt2입니다.

Δt2에 대해 정리하면,

이 식을 3)식에 대입하면

왕복시간은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

따라서 수평에서도 시간팽창은 일어남을 알 수 있습니다.

참고자료

https://www.physicsforums.com/threads/time-dilation-in-horizontal-clock.462122/

http://spacebug.blog.me/130030150452

아래 내용은 빛시계를 수평 수직으로 놓고 한꺼번에 생각하는 방법을 보여주고 있습니다.

squarelightclock.pdf