완전 탄성 충돌

다음 그림과 같이 두 물체가 직선상에서 충돌하는 경우를 생각해봅시다.
두 물체는 완전탄성충돌하므로 운동량이 보존되고, 운동에너지도 보존되어야 합니다.

운동량 보존 법칙을 적용합니다.
$ m_1 v_{1i}~ + ~m_2 v_{2i }~=~m_1 v_{1f}~ + ~m_2 v_{2f}$          ---1)

운동에너지 보존 법칙을 적용합니다.(어차피 1/2은 계산과정에서 지워져서 미리 삭제합니다.)
$m_1 v_{1i}^2 ~+ ~m_2 v_{2i}^2 ~= ~m_1 v_{1f}^2 ~+~ m_1 v_{2f}^2$          ---2)

1)식을 질량에 대해 정리합니다.
$ m_1( v_{1i}~ - ~ v_{1f })~=~m_2 (v_{2f}~ - ~ v_{2i})$          ---3)

2)식을 질량에 대해 정리하면
$m_1(v_{1i}~-~v_{1f})(v_{1i}~+~v_{1f})= m_2(v_{2f}~-~v_{2i})(v_{2f}~+~v_{2i})$          ---4)

4)식을 3)식으로 나누면
$v_{1i}~+~v_{1f}~=~v_{2f}~+~v_{2i}$          ---5)    

3)식의 괄호를 풀어 정리하면
$ m_1v_{1i}~ - ~ m_1v_{1f }~= ~ m_2v_{2f}~ - ~ m_2v_{2i}$          ---6)

5)식에 $m_2$을 곱하고, 6)식과 연립하여 더하면
     $m_2v_{1i}~+~m_2v_{1f}~=~m_2v_{2f}~+~m_2v_{2i}$
$-)$ $ m_1v_{1i}~ - ~ m_1v_{1f }~= ~ m_2v_{2f}~ - ~ m_2v_{2i}$
    -----------------------------------------------------------
   $(m_2~-m_1)v_{1i}~+~(m_1 ~ + ~m_2)v_{1f} ~=~2m_2v_{2i}$

$${\Large\therefore ~v_{1f}~=~ \left({m_1 ~-~ m_2}\over {m_1 ~+~m_2}\right)v_{1i}~+~\left({2m_2}\over {m_1 ~+~m_2}\right)v_{2i}}~~~~~--7)$$           

5)식에 $m_1$을 곱하고, 6)식과 연립하여 더하면
      $m_1v_{1i}~+~m_1v_{1f}~=~m_1v_{2f}~+~m_1v_{2i}$
$+)$ $ m_1v_{1i}~ - ~ m_1v_{1f }~= ~ m_2v_{2f}~ - ~ m_2v_{2i}$
    ----------------------------------------------------------
   $2m_1v_{1i}~=~(m_1 ~ + ~m_2)v_{2f} ~+~(m_1 ~-~m_2)v_2i$

$${\Large\therefore~ v_{2f}~=~ \left({2m_1}\over {m_1 ~+~m_2}\right)v_{1i}~+~\left({m_2 ~-~ m_1}\over {m_1 ~+~m_2}\right)v_{2i}}~~~~~--8)$$

1. 두 물체가 질량이 같은 경우

만약 질량이 같은 물체가 탄성 충돌하게 되면 어떻게 될까요? 7), 8)식은 다음과 같이 바뀌게 됩니다.
$v_{1f}~=~v_{2i}$, $v_{2f}~=~v_{1i}$가 됩니다.
이 식이 의미하는 바는 충돌 후에 충돌전의 속도를 교환한다는 것입니다. 아래 그림을 참고하세요.

질량이 같은 물체가 탄성충돌하면 속도를 교환한다.

한 물체만 운동해서 탄성충돌하는 경우

두 물체가 같은 방향으로 이동하면서 탄성충돌하는 경우

두 물체가 마주 보고 운동하며 탄성충돌하는 경우

2. $m_1~≫~m_2$인 경우
예를 들어 골프채로 정지한 골프공을 치는 경우
위 7), 8)식에 대입하면 $v_{1f}~\approx~ v_{1i}$, $v_{2f}~\approx~ 2v_{1i}$가 됩니다.
즉, 골프채는 가던 속력으로 그대로 진행하고, 골프공은 골프채 속도의 2배로 튀어나가게 됩니다.

3. $m_1~≪~m_2$인 경우
예를 들어 벽에 공을 던지는 경우
위 7), 8)식에 대입하면 $v_{1f}~\approx~ -v_{1i}$, $v_{2f}~\approx~ \left({2m_1} \over {m_2} \right)v_{1i}\approx~0$가 됩니다.
즉, 공은 던진 속력으로 되튀기게 되고, 벽은 움직이지 않습니다.