특수상대성이론에서의 상대속도

두 관측자가 움직이는 입자의 속도를 서로 다른 관성기준계 S와 S'에서 측정한다.
이때 S'은 S에 대해 상대속도 $v$로 움직인다.

상대론적 속도 변환은 다음과 같이 계산된다. 유도하는 과정은 아래 참고문헌들을 참조.
관성계 S에서 측정한 물체의 속도 u는
$$ u =  {{u' + v}\over{1+{u'v/c^2}}} $$

등속운동하는 관성계 S'에서 측정한 물체의 속도 u'은
$$ u' =  {{u - v}\over{1-{uv/c^2}}} $$

S'계의 속도가 광속에 비해 매우 느리면, 우리가 알고 있는 고전역학에서의 상대속도가 된다.
$v << c$이면 $u'v/c^2 = 0$에 수렴하므로, $ u =  {u' + v} $이 된다.

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[예시 1] 지구에 대해 상대속도 0.9c로 날아가는 로켓이 있다. 이 로켓에서 진행방향으로 로켓에 대해 총알을 0.95c로 발사할 때 지구에 대한 총알의 상대속도는?

지구계는 S, 로켓계는 S', $v=0.9c, u'=0.95c$이므로,

$$ u=   {{u' + v}\over{1+{u'v/c^2}}}= {{0.95c+0.9c}\over{1+{(0.95c)(0.9c)/c^2}}}=0.997c $$

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[예시 2] 지구로 0.5c로 향하는 우주선이 레이저를 발사하였을 때 지구에서 관찰한 레이저광의 속도는?

 

$v=0.5c$, $u'=c$이므로 

$$ u=   {{u' + v}\over{1+{u'v/c^2}}}= {{c+0.5c}\over{1+{(c)(0.5c)/c^2}}}=c $$

그냥 외우기만 했던 광속 불변의 원리를 수식으로 확인할 수 있습니다.

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[예시 3] 지구로 0.5c로 향하는 우선에서 0.75c의 속도로 통을 발사하였다. 지구에서 관찰한 통의 속도는?

(가)&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(나)

(가)의 경우 $v=0.5c$, $u'=0.75c$이므로

$$ u=   {{u' + v}\over{1+{u'v/c^2}}}= {{0.75c+0.5c}\over{1+{(0.75c)(0.5c)/c^2}}}=0.909c $$

(나)의 경우 $v=0.5c$, $u'=-0.75c$이므로

$$ u=   {{u' + v}\over{1+{u'v/c^2}}}= {{-0.75c+0.5c}\over{1+{(-0.75c)(0.5c)/c^2}}}=-0.4c $$

—가 의미하는 것은 다가오는 것이 아닌 멀어짐을 의미한다.

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[예시 4]로켓 A에서 본 로켓 B의 상대속도는?

로켓 B는 로켓 A에서 보면 물체에 해당한다. 
따라서 정지한 계에서 측정한 물체 B의 속도는 $u=v_B$
로켓 A에서 관측한 것이므로 S'계의 속도에 해당하는 $v=v_A$
따라서 로켓 A에서 본 로켓 B의 속도는
$$ u'=  {{u - v}\over{1-{uv/c^2}}}= {{v_B - v_A}\over{1-{v_B v_A/c^2}}} $$

$v_A = 0.7c$, $v_B = -0.8c$라고 할 때
로켓 A에서 본 로켓 B의 속도는
$$ u'=  {{-0.8c - 0.7c}\over{1-{(-0.8c)(0.7c)/c^2}}}={{-1.5c}\over{1.56}} =-0.96c $$

참고문헌:
Jearl Walker David Halliday Robert Resnick, 2015,일반물리학 개정10판 제2권, 범한서적주식회사, p601
Knight Jones Fiels, 2015, College Physics 3rd edition, Pearson, p.894
Relativistic Velocity Transformation – University Physics Volume 3 (opentextbc.ca)
Einstein velocity addition (gsu.edu)